课 程 简 介
数学分析是综合性大学数学系和统计科学系的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。
中山大学《数学分析》课程从中山大学建立一直延续至今。历年承担这门课程的教师都不遗余力地进行着数学分析的教学研究和教学改革，特别是改革开放以来，课程教学组的老师们作了大量的工作。课程于1992年列为校级重点课程，1995年列为省级重点课程。不断的改革和研究，摸索了许多经验，也获得了许多教学成果：
《"数学分析"面向21世纪课程体系与教学内容改革》获2001年国家级教学成果二等奖，获2000年广东省高教厅省级教学成果一等奖。
《在数学分析教学中加强学生素质的培养》获1997广东省高教厅省级教学成果二等奖。
《数学系基础课改革的突破口--数学分析与解析几何的教学改革"》获1993年广东省高教厅省级教学成果二等奖。
本课程采用邓东皋、尹小玲编著的《数学分析简明教程》上、下册为教材。这套教材是教育部"面向21世纪教学内容和课程体系改革计划"的研究成果，是面向21世纪课程教材，由高等教育出版社正式出版。教材对教学体系与教学内容作了比较大的改革，主要体现在以下几方面。
（一）在"初高等微积分"与"大头分析"之间建立了一个真正循序渐进而又保持了严密性的新体系。《数学分析》流行的体系有两种："初高等微积分" 与"大头分析"。两种体系各有优点，但缺点也明显。过去对"大头分析"的改革，都以损伤其体系的逻辑严密性为代价。我们经过几十年的教学实践，在内容上找到了许多定理的新证明与新处理，在上述两种体系之间，建立了一个真正循序渐进而逻辑又是严谨的新教学体系，比较好地解决了"可接受性"与"严格性"的矛盾。
（二）以"连续量的演算体系及其数学理论"的观点统率整个体系为建立新体系，关键是要明确数学分析的研究对象及主要训练。和过去体系的观点不同，我们提出数学分析提供的是"连续量的演算体系及其数学理论"的全新观点，并以此为纲，统率整个体系，把所有教学内容放到了一个正确的位置与次序上。
（三）贯彻素质教育，在讲数学时讲思想。我们在新的教学体系中，扭转过去重技巧轻概念的做法，特别强调讲清楚概念与方法的来源，不同概念间的内在联系以及所讲内容在整个体系中的作用与地位。对许多内容提出了深刻的精辟的见解。
本课程还有配套的学习指导教材《数学分析的思想方法》（朱匀华、周健伟、胡建勋编著，中山大学出版社，1998年）。在教学中引进现代化手段，建立了"数学分析CAI课件"。
从1993年起，为二年级学生开设了选修课"数学分析选讲"， 采用讨论班的教学方式，作为数学分析的组成部分。编写了《数学分析选讲》（朱匀华、周健伟编著，广东科技出版社，1995年）作为该选修课的教材，这是一本提高性的教材。
教 学 大 纲
课程名称：数学分析 Mathematical Analysis
课程类别：必修课
编号：34101011
学时：264
编者姓名：尹小玲 单位：统计科学系 职称：副教授
主审姓名：邓东皋 单位：数学系 职称：教授
授课对象：本科生
专业：数学与应用数学、统计
年级：一至二年级
一、 课程目的与教学基本要求
数学分析是综合性大学数学系和统计科学系的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。
本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用"连续量的演算体系及其数学理论"的观点统率整个体系。在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。
牢固掌握--基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。
一般掌握--对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。
一般了解--对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。
二、 课程内容与学时分配
本课程采用高等教育出版社出版的教材《数学分析简明教程》上、下册（邓东皋、尹小玲编著）。这套教材是教育部"面向21世纪教学内容和课程体系改革计划"的研究成果，是面向21世纪课程教材。
数学分析是数学系和统计科学系本科一年半的课程，在一年级和二年级上学期开设。总教学时数为264学时（其中讲课200学时，习题课64学时），三个学期的教学时数分配如下：
第一学期：周学时4/2，教学按14周计算，共计84学时（其中习题课28学时）；
第二学期：周学时4/1，教学按18周计算，共计90学时（其中习题课18学时）；
第三学期：周学时4/1，教学按18周计算，共计90学时（其中习题课18学时）。
详细的学时分配：学时分配.doc
三、使用说明
习题课和大课讲授是教学过程中的两个重要环节，它们应该紧密配合，但又各有侧重。习题课的目的是帮助学生掌握在大课中学到的基本知识，并运用于解题，使学生具有一定的灵活运用能力。因此，习题课起着大课讲授与课后作业之间的桥梁作用。习题课应该在大课讲授和学生复习的基础上，着眼于培养学生进一步的理解能力与灵活运用能力，使学生通过习题课这一环节，在分析问题和解决问题的能力方面得到提高。
每一章中关于授课和习题课的时数安排已在前一部分列出。由于总学时数比较紧，具体授课时，有时可适当调整授课和习题课的学时。
第一学期若时间紧张，可将定积分在物理中的应用留到第二学期，尽可能讲完定积分的计算，在第一学期提供给学生一套完整的一元微积分运算，同时也为第二学期其它后续课程提供了必要的计算工具。
第三章极限与函数的连续性，只要求讲极限定义、极限的四则运算和极限的基本性质，而上下确界、子序列、柯西准则等概念放到第九章再论实数系中讲。既分散了难点，又挤出了时间可在第一学期讲完定积分计算。闭区间连续函数的每个性质，也是在它需要时才分别出现。按照教材的体系，这样处理在逻辑上每一步都是严格的。
四、主要参考书目
[1] 《数学分析简明教程》上、下册，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月第一版，2002年6月第五次印刷，面向21世纪课程教材。
[2] 《数学分析的思想方法》，朱匀华、周健伟、胡建勋编著，中山大学出版社，1998年第一版，2001年8月第2次印刷。
[3] 《数学分析》（面向21世纪课程教材）上、下册，陈纪修、於崇华、金路编著，高等教育出版社，1999年第一版。
[4] R.Courant and F.John,Introduction to Calculus and Analysis, volⅠ、Ⅱ（有中译本：R.柯朗，F.约翰，微积分和数学分析引论，第一、二卷（共五分册）科学出版社，1979-1989。
[5] A.A 布朗克，微积分和数学分析习题集，科学出版社，1986。
[6] W.Rudin,Principles of Mathematical Analysis (有中译本：W.卢丁，数学分析原理，上、下册，人民教育出版社，1980)
[7] 《数学分析选讲》，朱匀华、周健伟编著，广东科技出版社，1995年。